Баннер

Авторизация  



Тригонометрические функции РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

 

Тригонометрические функции

Рабочая тетрадь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составители: Шурикова Н.М.

 

 

 

 


Содержание.

Градусное и радианное измерение углов___________________________________

Тригонометрические функции числового аргумента__________________________

Знаки значений тригонометрических функций_______________________________

Четные и нечетные тригонометрические функции____________________________

Тригонометрические функции углового аргумента____________________________

Правила приведения_____________________________________________________

Основные тригонометрические тождества___________________________________

Периодичность тригонометрических функций________________________________

Функция y=sinx, ее свойства и график________________________________________

Функция y=cosx, ее свойства и график________________________________________

Функции y=tgx, y=ctgx их свойства и графики____________________________________

Обратные функции__________________________________________________________

Простейшие тригонометрические уравнения_____________________________________

Проверочная работа__________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Данная рабочая тетрадь учебного назначения посвящена самому большому разделу алгебры - «Тригонометрия». Учебное пособие построено следующим образом: теоретический материал с разобранными примерами, практические задания для отработки изученного материала, итоговая проверочная работа.

Теоретический материал изложен кратко, доступным языком, так, что обучающийся самостоятельно, в случае необходимости, может освоить необходимый ему материал или проверить степень усвоения своих знаний на уроке.

Данное пособие удобно тем, что обучающиеся могут пользоваться им и на уроках, и дома.

 

Градусное и радианное измерение углов

При градусном измерении углов основная единица измерения - градус. Градус – центральный угол, которому соответствует дуга, равная 1/360 части окружности.

При радианном измерении углов основная единица измерения - радиан. Радиан– центральный угол, которому соответствует дуга, равная по длине ее радиусу.

Окружность содержит 2πR/R=2π≈6,283185..рад.

1 рад=360/2π=360°/6,283185≈57°17ʹ.

1°=2π/360≈0,017453рад.

А=π/180°×α°-формула перевода градусной меры в радианную;

α°=180°/π×А- формула перевода радианной меры в градусную.

Рассмотрим примеры перевода градусной меры в радианную и радианной меры в градусную:

30°=π/180°×30°=π/6

2π/3=2×180°/3=120°

2≈2×180°/3,14≈114,6°

Выполните самостоятельно.

1.Выразите в радианной мере величины углов: а) 20°; б)45°; в)75°

а) ------------------ ------     б)     ------------------------------     в) --------------------------

2. Выразите в градусной мере величины углов: а) π/8; б)3π/4; в)3.

а) ---------------------------   б) ----------------------------------   в)   -------------------------

 

3.Окружность морских компасов делится на 32 равные дуги, называемые румбами. Вычислите градусную и радианную меры румба.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------               ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.Величины углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, относятся как 2/7. Найдите градусную и радианную меры этих углов.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------------

Тригонометрические функции числового аргумента

Пусть точка Рα(х;у)единичной окружности является соответствующей действительному числу α

y

 




P α

x

 

 

рис.1

Определения:

1.Синусом числа α называется ордината(координата у) точки единичной окружности, соответствующей числу α:

Sin α=у (рис.1)

2.Косинусом числа α называется абсцисса(координата х) точки единичной окружности, соответствующей числу α:

Cos α=х (рис.1)

3. Тангенсом числа α (α≠π/2+πn,n€z) называется отношение синуса этого числа к косинусу этого же числа:

tg α= , cosα≠0

3. Котангенсом числа α (α≠πn,n€z) называется отношение косинуса этого числа к синусу этого же числа:

Сtg α=, Sin α≠0                                     У рис.2

вопросы: м1(0;1)

1. Назовите область определения синуса и косинуса.

---------------------------------------------------------------------------

2. Назовите область изменения синуса и косинуса.                                                               Х

--------------------------------------------------------------------

М3(                   М4()

3.На единичной окружности (рис 2)построены точки М1,М234, соответствующие числам Назовите значения функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этих значений аргумента.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.Каким действительным числам соответствует положение точки М2 на рис.2? Назовите 2 положительных и 2 отрицательных числа.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.Объясните, почему: а) cos  = cos = cos = cos = cos

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

б) Sin π = Sin(-π) = Sin 3π = Sin(-3π)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Выполните самостоятельно

1.На единичной окружности постройте точки Рα, для значений α:

а) ;   б) ;   в) ; г) -

 

 

 

 

 


2.Сравните числовые значения:

а)Sin и Sin(-)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------б) Sin    и Sin(-)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

а) cos   и cos (-)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

б) cos    и cos (-)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----

Знаки значений тригонометрических функций

 















Y=sin α Y=cos α Y=tg α, Ytg α

Выполните самостоятельно

1.Найдите знаки значений тригонометрических функций углов, приведенных в таблице:

 

Угол α

Знаки значений тригонометрических функций

Sin α

сos α

tg α

сtg α

310°

 

-310°

850°

 

- 930°

 

 

 

 

 

 

 

Четные и нечетные тригонометрические функции.

Дана функция y=f(x) с областью определения D. f(x) – четная функция, если при хÎ D,

- хÎ D и f(-x)= f(x); f(x) – нечетная функция, если при хÎ D, - хÎ D и f(-x)= -f(x). Область определения D симметрична относительно начала координат.

Если f(x) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если f(x) – нечетная функция, то ее график симметричен относительно начала координат.

Sin(- х)=- Sin х, Sin х - нечетная функция;

сos (-х)= сos х, сos х - четная функция;

tg(- х) = , ;

сtg(- х) = , ,

ПРИМЕР.

1. Установите, какие из заданных ниже функций являются четными, какие не являются ни четными, ни нечетными:

а) f(x)=x3 + sinx; б) y(x) = ; в) h(x) = x2 3cosx.

Решение:

а) D (x3 + sinx) =R, если хÎ D, то и - хÎ D;

f(- x)=(-x)3 + sin(-x) = - x3 – sinx = - f(x), ) x3 + sinx – нечетная функция;

б) D ( = [1; +∞) и х≠ если хÎ D, то –х Î D, поэтому у(х) не является ни четной ни нечетной функцией;

в) D (x2 3cosx) = R, если хÎ D, то   - хÎ D, h(-x) = (-x)2 3cos(-x) = x2 3cosx = h(x) , x2 3cosx – четная функция.

2. Вычислите значения тригонометрических функций для угла 300°.

Решение.

Sin300° = sin(- 60°) = - sin60° = ;

cos300° = cos (- 60°)= cos 60° = ;

tg300° = tg (- 60°)=- tg 60°=;

сtg300° = сtg (- 60°)=- сtg 60°=.

Выполните самостоятельно.

1.На рисунках 3-5 изображены графики функций, заданных на множестве действительных чисел. Установите, какие из приведенных функций четные, нечетные, ни четные и ни нечетные.

 




У                                                                 У                                                              У

 

Х                                                                                                                            Х

0                                                               0                                                               0

 

Рис.3                                                                Рис.4                                                   Рис.5

2. Установите, какие из заданных ниже функций являются четными, какие - нечетными, какие не являются ни четными и ни нечетными:

а)y=sin3x

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)f(x) =;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в)h(x) = 2x cosx;

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г)g(x)=

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Тригонометрические функции углового аргумента.

Аргумент Функция

о

p

2p

sin α

0

 

 

 

1

0

-1

0

cos α

1

 

 

 

0

-1

0

1

tg α

0

 

1

 

-

0

-

0

сtg α

-

 

1

 

0

-

0

-

Выполните самостоятельно.

1.Вычислите:

а) sin0° + cos0°= _____________________________________________________________________________б) sin- cos=__________________________________________________________________

в) cosp - sin = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

= __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

д) sin * cosp = ______________________________________________________________

) 2sin 30° - 3cos +2=____________________________________________________
____________________________________________________________________________
2.Используя симметрию единичного круга относительно координатных осей, найдите значения тригонометрических функций для значений аргумента

 

 

Правила приведения

  1. 1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида ), то функция сохраняется;
  2. 2. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции

содержится сумма аргументов вида, то функция меняется, т.е. Sin ↔Cos, Tg ↔Ctg;

3. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имела бы исходная функция согласно четверти: 1). - I четверть;

2). - II четверть;

3). - III четверть;

4). - IV четверть.

Пример. Упростите выражение: .

Решение: Так, как у tg под знаком преобразуемой функции содержится сумма аргументов , то функция tg сохраняется, а у cos стоит аргумент то функция cos меняется на sin.

Следовательно:

=,, функция sin имеет знак «-», так как cos в III четверти отрицателен.

Ответ:


Выполните самостоятельно.

1.Упростите выражение 7 - 4 =_____________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2.Упростить выражение

= ______________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тест по теме: «Правила приведения»

Вариант 1

Задание 1. Упростите выражение

а) -       б) ;        в) ;         г) -.

 

Задание 2. Упростите выражение .

а) 0;                 б) 2sin х;                     в) -2sin x;                   г) sin x + cos x.

 

Задание 3. Упростите выражение

а) - sin x;                б) sin x + ;   в) cos x + ;           г) sin x + .

 

Задание 4. Упростите выражение tg x – ctg (+х).

а) 2tg x;                      б) 0;                в) tg x + ctg x;                       г) -2tg x.

 

Задание 5. Вычислите sin (-) - cos π +sin.

а) -1;               б)-3;                в) -2;               г) 0.

 

Тест по теме: «Правила приведения»

Вариант 2

 

Задание 1. Упростить выражение  ) ∙ ).

а) -        б)         в)        г) - .

Задание 2. Упростите выражение

а) 2cos x;                    б) 0;                в) -2cos x;                   г) cos x – sin x.

Задание3. Упростите выражение

а)-2 sin x+tg;                   б) 2 sin x;                    в);             г)

Задание 4. Упростите выражение 7cos (x - ) + 5 sin x.

а) 12 sin x;                  б) 2 sin x;                    в) 12 cos x;                г) – 2 sin x.

Задание 5. Вычислите cos (- π) + cos + sin (-π).

а) -1;               б) -3;               в) -2;               г) 2.

 

Основные тригонометрические тождества

 

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поста­вить в соответствие однозначно определенное число sin t. Прав­да, правило соответствия довольно сложное и заключается в сле­дующем.

Чтобы по числу t найти значение sint, нужно:

1.Расположить числовую окружность на координатной пло­скости так, чтобы центр окружности совпал с началом коорди­нат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

2. На окружности найти точку, соответствующую числу t;

3.Найти ординату этой точки.
Эта ордината и есть sint.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения раз­личных тригонометрических функций, некоторые из этих соот­ношений вы уже знаете:

sin2a + cos2a = 1

tga =

ctga =

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее   tg t и ctg t:

tga* ctga = 1

1 + tg2a = , при a ≠ + .

1 + ctg2a = , при a ≠ .

 

Bсе полученные формулы используются в тех случаях, когда при заданном значении какой-либо тригонометрической функ­ции требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций. Всюду, напомним, подразумевается, что .

Пример. Известно, что и < t< . Найти соответствующие значения .

Решение: Из соотношения находим .

По условию, , значит, .

Из уравнения находим, что или .

По условию, аргумент t принадлежит первой четверти, а в ней cost положительный. Значит, из двух найденных возможных решений выбираем первое: .

Зная значения sin t и cos t, нетрудно вычислить соответствующие значения tg t и ctg t:

;   .

Ответ: ; ;


Выполните самостоятельно.

1.Найти значение выражения 3 - 7, если =-0,1.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.Найти , если известно, что

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.Сущетвует ли такое значение аргумента a, при котором одновременно:

а) sina=, а cosa=;

_____________________________________________________________________________

б) sina=, а ctga=?

_____________________________________________________________________________

4.Упростите выражения:

а) (1 - cosa)(1 + cosa) - ;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

б) - tg2a - ;

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в) sina* cosa (tga + ctga).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

5. Докажите тождества:

а) sin4a - cos4a + cos2a = sin2a;

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) ( + tga)( - tga) = 1.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест по теме: «Основные тригонометрические тождества»

Вариант 1

Задание 1. Упростите выражение (sin x + cos x)2 – 1.

а) cos2x;                     б) sin2x;                      в) 0;               г) sin x + cos x.

Задание 2. Упростите выражение .

а) 1 – tg2α;                              б) 1;                в) 0;               г) tg2α.

 

Задание 3. Упростите выражение (1- sin x)(1+sin x).

 

а) 0;     б) sin2x;                      в) cos2x;                     г) 1.

 

Задание 4. Известно, что , где   . Найдите

 

а) -0,6; б) 0,6;  в) 0,2; г)-0,2.

 

Задание 5. Вычислите tg t, если sin t = - 0,8 и π

а) - ;            б) ;              в) - ;                        г) .

 

 

 

Тест по теме: «Основные тригонометрические тождества»

Вариант 2

Задание 1. Упростите выражение (1- sin x)(1+sin x).

а) 0;     б) sin2x;                      в) cos2x;                     г) 1.

Задание 2. Упростите выражение .

а) 1 – tg2α;                              б) tg2α ;           в) 1;                г) 0.

Задание 3. Упростите выражение .

а) tg2α - 1;                              б) 1;                в) 0;               г) tg2α.

 

Задание 4. Известно, что , где . Найдите

 

а) -0,4; б) 0,4;  в) 0,8;  г) -0,8.

 

Задание 5. Вычислите tg t, если cos t = - и

а) ;             б) - ;                       в) 2,4;             г) – 2,4.

 

 

 

Периодичность тригонометрических функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция f(x) с областью определения D называется периодической, если существует такое число t ≠ 0, что для любого хÎ D числа х+ t и х- t также принадлежат D и выполняется равенство

f(x + t) = f(x).

Из определения следует, что f(x - t) = f(x).

Все тригонометрические функции являются периодическими с общим периодом . Наименьший положительный период функций tgx и ctgx равен .

Пример:

1.Найдите наименьший положительный период функции y=cos 2x.

Решение. Пусть L – период функции y=cos 2x, тогда по определению периодической функции

cos 2(х +L)= cos 2x для любого хÎ R. Пусть х=0, тогда cos2(0+L)= cos2*0, cos2L= cos0, cos2L=1. Но косинус равен 1, если 2L=, L= , где , L=  - наименьший положительный период функции y=cos 2x.

2.Вычислите:

а) cos 420°, б) tg945° - sin1110°.

Решение:

а) Период косинуса равен 360°, поэтому cos 420°=cos (60° +360°)= cos 60°=.

б)период тангенса равен 180° и любому целому числу, кратному 180°, а период синуса равен 360°, выделяем число полных периодов у значений аргументов: 945°=180°*5 + 45°, 1110° = 360°*3 +30°, тогда имеем tg945° - sin1110°= tg(180°*5 + 45°) – sin(360°*3 +30°)= tg45° - sin30°=1 - =.

Выполните самостоятельно.

1.Сформулируйте определение периодической функции:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Назовите наименьший положительный период для функций: а)sinx________________б)cosx_____________в)tgx_____________г)ctgx_________________

3.Вычислите:

а)sin390°=_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)tg(- 240°)=     ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в) cos(-420°)= ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г) ctg405°= ____________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Функция Y = sin х, ее свойства и график.

Свойства:

1. Область определения: D(f)=;

2. Функция Y=Sin х - нечетная, т.е. Sin(-x)= -Sin x;

3. Функция Y=Sin х возрастает на отрезке и убывает отрезке ;

4.   Функция Y=Sin x ограничена сверху и снизу;

5. Yнаиб=1;   Yнаим=-1;

6. Функция Y=Sin х непрерывна;

7. Область значений функции: E(f) = [ -1;1];

8. Функция Y=Sin x периодическая с периодом Т=2, т.е. sin(x-2)= sinx = sin(x+2).

Воспользовавшись полученными свойствами, построим гра­фик интересующей нас функции. Строить график будем в привычной систе­ме координат хОу.

Построим график функции у = sinx на отрезке . При этом договоримся о следующем масштабе на осях ко­ординат: на оси ординат 1 см = 1, т. е. в ваших тетрадях в кле­точку роль единичного отрезка на оси у составит отрезок в две клеточки; на оси х 1 см (две клеточки) равен . Фактически мы будем считать, что     = 3, что не совсем соответствует действи­тельности (на самом деле к > 3), но на это при построении гра­фика особого внимания обращать не будем

Составим таблицу значений функции :

x

0

 

 

 

 

 

y

 

0

 

1

 

0

 

-1

 

0

 

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

 

Функция Y=Cos х, ее свойства и график.

Свойства:

1 .Область определения: D(f)= ;

2.Функция Y=Cos х - четная, т.е. Cos(-x)=Cos x;

3.Функция Y=Cos х возрастает на отрезке и убывает отрезке   ;

4. Функция Y=Cos х ограничена сверху и снизу;

5. Yнаиб=1;   Yнаим=-1;

6.Функция Y=Cos х непрерывна;

7.Область значений функции: E(f) = [ -1;1];

8.Функция Y=Cos х периодическая с периодом Т=2, т.е. cos(x-2)= cosx=cos(x+2).

Воспользовавшись полученными свойствами, построим график функции на отрезке .

Составим таблицу значений функции :

 

x

0

 

 

 

 

 

y

 

1

 

0

 

-1

 

0

 

1

 

 

Функции Y=tg х, Ytg х их свойства и графики.

Свойства Y=tg х

1.Область определения: D(f)= , кроме х =;

2.Функция Y=tg х - нечетная, т.е. Tg(-x)= -Tg x;

3.Функция Y=tg х возрастает на интервале ;

4. Функция Y=tg х не ограничена ни сверху, ни снизу;

5. Yнаиб= нет;   Yнаим= нет;

6.Функция Y=tg х непрерывна на интервале;

7.Область значений функции: E(f) =;

8.Функция Y=tg х периодическая с периодом Т=, т.е. tg(x-)= tgx = tg(x+).

Приступим к построению графика . График функции у = tgx называют тангенсоидой.

Составим таблицу значений:

 

x

0

 

 

 

y

0

 

1

 

 

Так как по свойству 7 функция непрерывна на интервале , то в общем виде она непрерывна на любом интервале вида . Следовательно ее график будет выглядеть следующим образом.

 

 

Свойства Y = сtg х

1.Область определения: D(f)= , кроме х =;

2.Функция Y=ctg х - нечетная, т.е. ctg(-x)= -ctg x;

3.Функция Y=ctg х e,убывает на интервале (0;p) ;

4. Функция Y=ctg х не ограничена ни сверху, ни снизу;

5. Yнаиб= нет;   Yнаим= нет;

6.Функция Y=ctg х непрерывна на интервале (0;p)

7.Область значений функции: E(f) =;

8.Функция Y=сtg х периодическая с периодом Т=, т.е. с tg(x-)= сtgx = сtg(x+).

Приступим к построению графика Y=ctg х. График функции у = сtgx также называют тангенсоидой.

Составим таблицу значений:

 

x

0

 

 

 

y

-

 

1

 

 

Так как по свойству 7 функция непрерывна на интервале (0;p), то в общем виде она непрерывна на любом интервале вида (pк; p + pк).

Постройте график функции Y=ctgх самостоятельно.

 




Обратные функции

1)  Если 1, то arccos а (арккосинус а) - это такое число из отрезка, косинус которого равен а.

  1. Если 1, то arcsin а (арксинус а) - это такое число из отрезка, синус которого равен а.

3) arctg а (арктангенс а) - это такое число из интервала,
тангенс которого равен а.

4) arcctg а (арккотангенс а) - это такое число из интервала ,
котангенс которого равен а.

Пример.

Вычислить:

а) arccos ;            в) .

б) arcsin;

Решение:

а) Положим arccos = t. Тогда и t. Значит, t=,                         поскольку и . Итак, .

 

б) Положим arcsin= t. Тогда и t. Значит, , поскольку и . Итак, .

 

в) Положим =t. Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак, .

Выполните самостоятельно.

1.Заполните таблицу

Значения аргумента х

-1

 

 

 

0

 

 

 

1

Значение arcsinх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение arccos х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение arctg х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение arcсtg х

 

 

 

 

 

 

 

 

 












 

Простейшие тригонометрические уравнения.

1.Уравнение вида sinx=a (|а|£1).

Х=(-1)narcsinа +pn,nÎZ

2. Уравнение вида cosx=a (|а|£1).

Х=± arccosа + 2pn,nÎZ

3. Уравнение вида tgx=a.

Х= arctgа +pn,nÎZ

Частные случаи уравнений.

sinx=0                                                        sinx=1                                                     sinx=-1

 











 

 


х=pn                                                           х= + 2pn                                       х= - + 2pn

cosx=0                                                         cosx=1                                                     cosx=-1

 












 

 

 

 


x= + pn                                                   х = 2pn                                                   х = p + 2pn

Пример.

1.sinx =                                                                                                        у

Х=(-1)narcsin + pn,nÎZ                                                    у=

Х= + 2pn,nÎZ;                                                                                                           х
Х= + 2pn,nÎZ
Ответ: Х= + 2pn,nÎZ; Х= + 2pn,nÎZ                                             у     х=

2.cosx=                                                                                                           arccos

Х=± arccos + 2pn,nÎZ                                                                              00            х

Ответ: Х=± arccos + 2pn,nÎZ                                                                     -arccos

3. sinx =2

Решений нет, т.к. область значений синуса |а|£1.                                  У           5

Ответ: Решений нет.

4. tgx=5.

Х=± arctg5 +pn,nÎZ                                                                                                       х

Ответ: Х= ±arctg5 +pn,nÎZ

5. tgx=.                                                                                                 У

Х=± arctg +pn,nÎZ                                                                                            

Х= +pn,nÎZ                                                                                                                                Х= +pn,nÎZ

Ответ: Х= +pn,nÎZ; Х= +pn,nÎZ

6. sin3x =-1

3х= + 2pn,nÎZ

Х=

Ответ: Х=

7. cos= 1                                        
2pn,nÎZ
х = 4pn,nÎZ
Ответ: х = 4pn,nÎZ

8. sin(x) =-1

Т.к. sin(x)=- sin(), то данное уравнение принимает вид sin() = 1

= + 2pn,nÎZ

х = + 2pn,nÎZ
Ответ: х = + 2pn,nÎZ

Выполните самостоятельно.

Решите уравнения:

1. sin() = -1

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2. sin0,5х = -0,8

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.соsх =

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. 11

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тест по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Вариант 1

Задание 1. Решите уравнение

а) ;            б) - ;   в) ;         г) .

 

Задание 2. Решите уравнение

 

а) ;      б) , єZ;      в) 2;    г) 2.

 

Задание 3. Решите уравнение

а) єZ;   б) єZ;       в) єZ;     г)     єZ.

 

Задание 4. Решите уравнение

а) ;      б) , єZ;      в) 2;    г) +2.

 

Задание 5. Решите уравнение

а) єZ;   б) єZ;   в) єZ;         г)  єZ.

 

Задание 6. Решите уравнение

а) єZ;   б) єZ;   в) єZ;         г)  єZ.

 

Задание 7. Решите уравнение

а) ;         б) , єZ;     в) 2;       г) +2.

 

Задание 8. Решите уравнение

а) ;         б) -, єZ;    в) - ;       г) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Вариант 2

Задание 1. Решите уравнение

 

а) 2;    б) , єZ;      в) 2;    г) +2.

 

Задание 2. Решите уравнение

а);         б) -+;     В) +;      г) -+

 

Задание 3. Решите уравнение

а) єZ;   б) єZ;       в) єZ;     г)     єZ.

 

Задание 4. Решите уравнение

а) 2;    б) , єZ;      в) 2;    г) , єZ.

 

Задание 5. Решите уравнение

а) 2;    б) , єZ;      в) 2;    г) , єZ.

 

Задание 6. Решите уравнение

а) єZ;   б) єZ;   в) єZ;         г)  єZ.

 

Задание 7. Решите уравнение

а) ;         б) , єZ;     в) 2;       г) +2.

 

Задание 8. Решите уравнение

а) ;         б) , єZ;     в) ;         г) .

 

 

Проверочная работа.

1.Вычислить :                     1)-                         2)                 3)-                  4)

2.Вычислить 12     1)6                    2)                   3) -                 4)

3.Упростить выражение      1)1         2) -       3)0           4)

4.Найти , если известно, что         1)       2)-     3)-   4)

5.Найти наибольший корень (в градусах) уравнения , принадлежащий .

6.Найти наименьший корень tg( , принадлежащий (1;3).

7.Сколько корней имеет уравнение (1-2=0

8.Решить уравнение:

9.Упростить выражение

1)-ctgx                         2)ctgx                             3)                         4)-tg2x

10.Решить уравнение

1)                   2)                     3)                         4)

11. Найти значение выражения 3 - 7, если =-0,1.

 

 

© 2018 - ALLROUNDER
   
| Суббота, 21. Апреля 2018 || Designed by: LernVid.com |